Формирование математической модели

Пусть некая схема содержит (п+1), включая базовый. В схеме находятся источники тока, линейные проводимости и нелинейные двухполюсные резистивные элементы, управляемые напряжением, т.е. такие, токи которых являются конкретными функциями напряжения .

, (2.1)

где - ток ветки, включенной меж узлами k и λ;

- напряжение ветки, включенной меж узлами k и λ;

- нелинейная проводимость элемента;

- узловые Формирование математической модели напряжения;

Полагая, что в общем случае нелинейный источник тока, управляемый напряжением включен меж узлами p и q.

, (2.2)

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов k, λ, p и q.

(2.3)

где Gst - проводимости линейных веток,

Jk,Jλ,JP,Jq- токи независящих источников.

Сгруппировав надлежащие слагаемые, перепишем модель (2.3) в матричной форме:

(2.4)

где

Из приобретенного уравнения Формирование математической модели видно, что нелинейные проводимости, так же, как и проводимости линейных двухполюсников входят в матрицу проводимостей четыре раза, из их дважды с положительными знаками в собственные проводимости узлов k и λ, а два - с отрицательными во обоюдные проводимости этих узлов. Нелинейная проводимость gpq(uij) преобразования ПНТ, вход которого подключен Формирование математической модели к узлам i и j, авыход - к узлам р и q, также заходит в матрицу проводимостей четыре раза. Дважды без инверсии знака во обоюдные проводимости Ypi и Yqj и дважды с инверсией - в проводимости YPJ и Yqi. Заметим, что линейные и нелинейные проводимости веток, соединяющих узел s сбазисным Формирование математической модели, входят в матрицу проводимости один раз с положительным знаком, в свою проводимость узла Yss. Передаточная проводимость ПНТ, вход которого включен меж узлом f и базовым, а выход - меж узлом r и базовым, также заходит в матрицу проводимостей один раз, без инверсии знака, в проводимость Yrf.

При формировании вектора независящих источников Формирование математической модели I ток JKλ источника, направленного от узла k к узлу λ, прибавляется к элементу λ, вектора I и вычитается из элемента k.

Для исключения сингулярности матрицы коэффициентов, имеющей место при икλ=0, выделим из матрицы коэффициентов уравнений (2.4) матрицу неизменных коэффициентов Gи матрицу коэффициентов, зависящих от переменных g(U) , тогда уравнения (2.4) можно переписать в Формирование математической модели виде:

G-U + Ф(U) -I= 0, (2.5)

где Ф(U) - вектор нелинейных функций

Вектор функций Ф(U)может быть получен без использования матрицы g(U),если рассматривать нелинейные элементы, как эквиваленные источники тока . В данном случае вектор функций формируется аналогично вектору I независящих источников, т.е.

.

В общем случае анализа статического режима появляется ряд проблем Формирование математической модели:

1). не считая резистивных частей, управляемых напряжением, схема содержит элементы, управляемые током, т.е. такие, напряжения которых являются конкретными функциями токов;

2). в схеме могут находиться независящие либо управляемые
источники напряжения.

В первом случае резистивный элемент, управляемый током описывается уравнением

(2.6)

из которого следует

(2.7)

Функция обычно не имеет оборотного преобразования с функцией в модели (2.1), потому Формирование математической модели значение тока в модели (2.3) остается неведомым и для получения совместной системы уравнений к п уравнениям (2.4) добавим уравнение (2.7). С учетом тривиального соотношения ik = - = , матрица коэффициентов возрастет на одну строчку и один столбец, а векторы неведомых и независящих источников на один элемент:

(2.8)

При наличии m таких нелинейных частей и линейных Формирование математической модели сопротивлений матрица коэффициентов будет состоять из 4 блок-матриц:

1) матрицы узловых проводимостей Y размером пхп для частей,
допускающих описание в форме линейной проводимости либо управляемой
напряжением нелинейной проводимости;

2) диагональной матрицы R размером т х т сопротивлений
линейных частей либо управляемых током нелинейных сопротивлений;

3) матрицы инциденций А размером п х т , каждый Формирование математической модели i-ый столбец
которой содержит один либо два ненулевых элемента в строчках,
соответственных узлам k и λ, (какой-то из них может быть базовым) подключения i-го сопротивления. При этом ненулевой элемент равен «+1», если ток ориентирован от узла, и «-1» в неприятном случае;

4) транспонированной матрицы инциденций Ат.

Векторы неведомых, независящих источников Формирование математической модели и нулевой вектор соответственно дополняются т неведомыми токами и т нулями.

Во-2-х, можно ввести дополнительную переменную – ток в ветки с источником напряжения, учитывать его в уравнениях (2.4) для узлов k и λ и добавить к системе уравнений компонентное уравнение В итоге матрица коэффициентов возрастает на одну строчку и один столбец, а векторы Формирование математической модели неведомых и независящих источников - на один элемент.

(2.9)

В таблице 2.3 источника [5] приведены измененные системы узловых уравнений для управляемых источников, у каких матрица у-параметров не существует.


formirovanie-klyuchevih-kompetencij-uchashihsya-pri-vipolnenii-modulnih-laboratornih-rabot-po-fizike-v-srednej-obsheobrazovatelnoj-shkole-13-00-02-teoriya-i-metodika-obucheniya-i-vospitaniya-fizika.html
formirovanie-kodifikatora.html
formirovanie-kolonialnih-imperij.html